Question

如图，梯形OABC，BC∥OA，边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，点B（3，4），AB=5．
（1）求∠BAO的正切值；
（2）如果二次函数的图象经过O、A两点，求这个二次函数的解析式并求图象顶点M的坐标；
（3）点Q在x轴上，以点Q，点O及（2）中的点M为顶点的三角形与△ABO相似，求点Q的坐标．

Answer

（1）作BD⊥OA于点D，由点B的坐标可以求出BD、OD的值，在直角三角形ABD中由勾股定理可以求出AD的值，从而可以求出∠BAO的正切值．
（2）由条件可以求出A点的坐标，利用待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式．
（3）根据条件当△ABO∽△MQO和△ABO∽△QMO时，从两种情况根据相似三角形的性质就可以求出OQ的值，从而求出Q点的坐标．
【解析】
（1）作BD⊥OA于点D，
∴∠ADB=90°，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得
AD2=AB2-BD2
∵B（3，4），
∴OD=3，BD=4．
∵AB=5，
∴AD2=25-16，
∴AD=3，
∴tan∠BAD=．

（2）∵AD=3，OD=3，
∴OA=6，
∴A（6，0），O（0，0）
∴
∴
∴抛物线的解析式为：
∴，
∴M（3，-4）．

（3）∵M（3，-4），B（3，4），
∴OB=OM，
∵BD⊥OA，OD=AD，
∴OB=AB=5，
∴OM=5．
△ABO∽△MQO时，，
∴，
∴OQ=，
∴Q（，0）
△ABO∽△QMO时，，
∴，
∴QO=6，
∴Q（6，0），
综上所述，所以Q（，0）或（6，0）