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如图,大海中有A和B两个岛屿,为测量它们之间的距离,在海岸线PQ上点E处测得∠A...

如图,大海中有A和B两个岛屿,为测量它们之间的距离,在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=74°,∠BEQ=30°;在点F处测得∠AFP=60°,∠BFQ=60°,EF=1km.
(1)判断AB,AE的数量关系,并说明理由;
(2)求两个岛屿A和B之间的距离(结果精确到0.1km).
(参考数据:manfen5.com 满分网≈1.73,cos74°≈0.28,tan74°≈3.49,sin76°≈0.97,cos76°≈0.24)

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(1)根据SAS即可证明△AEF≌△ABF,得到AB=AE; (2)作AH⊥PQ,垂足为H.设AE=x,在直角△AHF,直角△AEP中,利用三角函数表示出HE与HF,从而可得到关于x的方程,解方程即可得解. 【解析】 (1)相等.    理由如下: ∵∠BEQ=30°,∠BFQ=60°, ∴∠EBF=30°,EF=BF.                          又∵∠AFP=60°,∴∠BFA=60°. 在△AEF与△ABF中, EF=BF,∠AFE=∠AFB,AF=AF, ∴△AEF≌△ABF, ∴AB=AE.                                     (2)方法一:作AH⊥PQ,垂足为H. 设AE=x, 则AH=xsin74°,HE=xcos74°, HF=xcos74°+1.                                 Rt△AHF中,AH=HF•tan60°, ∴xsin74°=(xcos74°+1)•tan60°, 即0.96x=(0.28x+1)×1.73, 解得x≈3.6,即AB≈3.6. 答:两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km.           方法二:设AF与BE的交点为G. 在Rt△EGF中,∵EF=1,∴EG=.              在Rt△AEG中, ∠AEG=76°,AE=EG÷cos76°=÷0.24≈3.6km, ∵AE=AB, ∴两个岛屿A和B之间的距离是3.6km, 答:两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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