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(1)探究新知: ①如图1,已知AD∥BC,AD=BC,点M,N是直线CD上任意...

(1)探究新知:
①如图1,已知AD∥BC,AD=BC,点M,N是直线CD上任意两点.
求证:△ABM与△ABN的面积相等.
②如图2,已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,点M是直线CD上任一点,点G是直线EF上任一点,试判断△ABM与△ABG的面积是否相等,并说明理由.
(2)结论应用:
如图3,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点D,试探究在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等?若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)①由于CD∥AB,所以△ABM和△ABN中,AB边上的高相等,则两个三角形是同底等高的三角形,所以它们的面积相等; ②分别过D、E作AB的垂线,设垂足为H、K;通过证△DAH≌△EBK,来得到DH=KE;则所求的两个三角形是同底等高的三角形,由此得证; (2)根据A、C的坐标,即可求得抛物线的解析式,进而可求出A、D的解析式;用待定系数法可确定直线AD的解析式;假设存在符合条件的E点,过C作CD⊥x轴于D,交直线AD于H;过E作EF⊥x轴于F,交直线AD于P;根据抛物线的对称轴方程及直线AD的解析式,易求得H点的坐标,即可得到CH的长;设出E点横坐标,根据直线AD和抛物线的解析式,可表示出P、E的纵坐标,即可得到PE的长;根据(1)题得到的结论,当PE=CH时,所求的两个三角形面积相等,由此可列出关于E点横坐标的方程,从而求出E点的坐标.(需注意的是E点可能在直线AD的上方或下方,这两种情况下PE的表达式会有所不同,要分类讨论) 证明:(1)①分别过点M,N作ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为点E,F ∵AD∥BC,AD=BC, ∴四边形ABCD为平行四边形; ∴AB∥CD; ∴ME=NF; ∵S△ABM=,S△ABN=, ∴S△ABM=S△ABN(1分) ②【解析】 相等;理由如下:分别过点D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分别为H,K; 则∠DHA=∠EKB=90°; ∵AD∥BE, ∴∠DAH=∠EBK; ∵AD=BE, ∴△DAH≌△EBK; ∴DH=EK;(2分) ∵CD∥AB∥EF, ∴S△ABM=,S△ABG=, ∴S△ABM=S△ABG;(3分) 【解析】 (2)存在.(4分) 因为抛物线的顶点坐标是C(1,4), 所以,可设抛物线的表达式为y=a(x-1)2+4; 又因为抛物线经过点A(3,0), 所以将其坐标代入上式,得0=a(3-1)2+4,解得a=-1; ∴该抛物线的表达式为y=-(x-1)2+4, 即y=-x2+2x+3;(5分) ∴D点坐标为(0,3); 设直线AD的表达式为y=kx+3, 代入点A的坐标,得0=3k+3,解得k=-1; ∴直线AD的表达式为y=-x+3; 过C点作CG⊥x轴,垂足为G,交AD于点H;则H点的纵坐标为-1+3=2; ∴CH=CG-HG=4-2=2;(6分) 设点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为-m2+2m+3; 过E点作EF⊥x轴,垂足为F,交AD于点P,则点P的纵坐标为3-m,EF∥CG; 由﹙1﹚可知:若EP=CH,则△ADE与△ADC的面积相等; ①若E点在直线AD的上方, 则PF=3-m,EF=-m2+2m+3, ∴EP=EF-PF=-m2+2m+3-(3-m)=-m2+3m; ∴-m2+3m=2, 解得m1=2,m2=1;(7分) 当m=2时,PF=3-2=1,EF=1+2=3; ∴E点坐标为(2,3); 同理当m=1时,E点坐标为(1,4),与C点重合;(8分) ②若E点在直线AD的下方, 则PE=(3-m)-(-m2+2m+3)=m2-3m;(9分) ∴m2-3m=2, 解得,;(10分) 当时,E点的纵坐标为; 当时,E点的纵坐标为; ∴在抛物线上存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等,E点的坐标为E1(2,3);E2(,-);E3(,).(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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