Question

已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似？
（3）若⊙P的半径为，⊙Q的半径为；当⊙P与对角线AC相切时，判断⊙Q与直线AC、BC的位置关系，并求出Q点坐标．

Answer

（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，由已知条件利用勾股定理求AC，利用面积法求CD，利用勾股定理求OD，确定C点坐标，从而求直线AC的解析式；
（2）根据P点是否在线段OA上分类：当0≤t≤2.5时，和当t＞2.5时，判断相似是否成立，利用相似比求符合条件的t的值；
（3）可判断⊙Q与直线AC、BC均相切．当⊙P的半径为时，利用相似比求PA，得出OP的长和P点运动时间，Q点运动时间与P点相同，可判断QA的长是否等于⊙Q的半径，并求出Q点坐标．
【解析】
（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，在平行四边形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，得AC=3，
由面积法，得CD×OA=OC×AC，解得CD==，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OD==，
∴C（，），
又∵A（5，0），
∴直线AC解析式为：y=-x+；

（2）当0≤t≤2.5时，P在OA上，若∠OAQ=90°时，
故此时△OAC与△PAQ不可能相似．
当t＞2.5时，
①若∠APQ=90°，则△APQ∽△OAC，
故==，
∴=，
∴t=，
∵t＞2.5，
∴t=符合条件．
②若∠AQP=90°，则△APQ∽△OAC，
故==，
∴=，
∴t=，
∵t＞2.5，
∴t=符合条件．
综上可知，当t=或时，△OAC与△APQ相似．

（3）⊙Q与直线AC、BC均相切．
如图，设⊙P与AC相切于点M，则PM∥OC，
∴=，即×5=PA×4，
解得PA=2，OP=5-2=3，
P点运动时间为3÷2=秒，
故Q点运动时间为秒，此时AQ=，
BQ=4-=，
过Q点作QN⊥BC，垂足为N，则△BQN∽△BCA，
=，即=，
解得QN=，
则AQ=QN，
∵AC⊥AB，
∴⊙Q与直线AC、BC均相切．
此时，Q点坐标为（）．