Question

如图1，在平面直角坐标系中有一个Rt△OAC，点A（3，4），点C（3，0）将其沿直线AC翻折，翻折后图形为△BAC．动点P从点O出发，沿折线0⇒A⇒B的方向以每秒2个单位的速度向B运动，同时动点Q从点B出发，在线段BO上以每秒1个单位的速度向点O运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）如图2，固定△OAC，将△ACB绕点C逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△A′CB′设A′B′与AC交于点D当∠BCB′=∠CAB时，求线段CD的长；
（3）如图3，在△ACB绕点C逆时针旋转的过程中，若设A′C所在直线与OA所在直线的交点为E，是否存在点E使△ACE为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据勾股定理和折叠的性质易求得OA=AB=5，OB=6，可用t表示出OP、OQ的长，分两种情况讨论：
①点P在线段OA上运动，即0≤t≤2.5，以OQ为底，OP•sin∠AOC为高，即可得S、t的函数关系式；
②点P在线段AB上运动，即2.5＜t≤5，以OQ为底，BP•sin∠ABC为高，即可得S、t的函数关系式．
（2）若∠BCB′=∠CAB，那么∠DCB′、∠ABC为等角的余角，而根据旋转的性质知：∠ABC=∠B′，通过等量代换后可发现此时D点是斜边A′B′的中点，即CD=A′B′，由此得解．
（3）首先根据A点坐标，求出直线OP的解析式，然后设出点E的坐标；再根据A、C的坐标，分别表示出AE2、CE2的长，然后分三种情况讨论：①AE=CE，②AE=AC，③CE=AC；
根据上述三种情况所得不同等量关系，即可求得符合条件的E点坐标．
【解析】
（1）由题意知：OA=AB=5，OC=BC=3，OB=6；
P从O→A→B，所用的总时间为：（5+5）÷2=5s；Q从B→O所用的总时间为：6÷1=6；
因此t的取值范围为：0≤t≤5；
①当0≤t≤2.5时，点P在线段OA上；
OP=2t，OQ=OB-BQ=6-t；
∴S=×2t××（6-t）=-t2+t；
②当2.5≤t≤5时，点P在线段AB上；
OP=2t，BP=10-2t，OQ=6-t；
∴S=×（10-2t）××（6-t）=t2-t+24；
综上可知：S=．

（2）∵∠BCB′=∠CAB，
∴∠DCB′=∠ABC=90°-∠CAB=90°-∠BCB′，
由旋转的性质知：∠ABC=∠B′，即∠DCB′=∠B′；
∴∠A′=∠A′CD=90°-∠DCB′=90°-∠B′，
∴A′D=DB′=CD，即CD=A′B′=AB=2.5．

（3）由A（3，4），可得直线OA：y=x；
设点E（x，x），已知A（3，4），C（3，0）；
∴AE2=（x-3）2+（x-4）2，CE2=（x-3）2+（x）2，AC=4；
①当AE=CE时，AE2=CE2，则有：
（x-3）2+（x-4）2=（x-3）2+（x）2，解得x=，
∴E1（，2）；
②当AE=AC时，AE2=AC2=16，则有：
（x-3）2+（x-4）2=16，整理得：25x2-150x+81=0，
解得：x=，x=；
∴E2（，），E3（，）；
③当CE=AC时，CE2=AC2=16，则有：
（x-3）2+（x）2=16，整理得：25x2-54x-63=0，
解得：x=-，x=3（舍去）；
∴E4（-，-）；
综上可知：存在符合条件的E点：E1（，2），E2（，），E3（，），E4（-，-）．