Question

如图，二次函数y=ax²-2ax+的图象与x轴交于A、B二点，与y轴交于C点．抛物的顶点为E（1，2），D为抛物线上一点，且CD∥x轴．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）写出A、B、C、D四点的坐标；
（3）若点F在抛物线的对称轴上，点G在抛物线上，且以A、B、F、G四点为顶点的四边形为平行四边形，求点G的坐标．

Answer

（1）将点E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得a的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）根据抛物线的解析式，易知点C的坐标为：（0，），由于C、D关于抛物线的对称轴对称，进而可得到点D的坐标；令抛物线的解析式中y=0，通过解方程即可求出点A、B的坐标．
（3）此题应该分两种情况考虑：
①当点G在x轴上方时，此时平行四边形以AB为对角线，由于点F在抛物线对称轴上，因此点G也必在抛物线的对称轴上，即此时点G与抛物线顶点E重合，由此求得点G的坐标；
②当点G在x轴下方时，此时平行四边形以AB为边，根据平行四边形对边平行且相等可知FG=AB=4，由此可根据抛物线对称轴得到G点的横坐标，然后代入抛物线的解析式中即可得到点G的坐标．
【解析】
（1）把（1，2）代入y=ax2-2ax+得：
2=a-2a+，（1分）a=-，
∴二次函数的关系式为y=-x2+x+．（2分）

（2）由抛物线的解析式知：C（0，），
由于CD∥x轴，则C、D关于x=1对称，
故D（2，）；
抛物线的解析式中，当y=0时，-x2+x+=0，
解得x=-1，x=3；
故A（-1，0）、B（3，0）、C（0，）、D（2，）．（6分）

（3）①当点G在x轴上方时，此时平行四边形以AB为对角线；
由于点F在抛物线对称轴上，则点G也在抛物线的对称轴上，即G、E重合，
故点G1坐标为（1，2）；（8分）
②当点G在x轴下方时，由题意知AB=GF=4，得点G的横坐标x=-3或5，（9分）
把x=-3或5代入y=-x2+x+，得y=-6，（10分）
点G2坐标为（-3，-6），点G3坐标为（5，-6）．（12分）
综上可知，点G的坐标为：G1（1，2）、G2（-3，-6），G3（5，-6）．
综上所述点G坐标为（1，2），（-3，-6）或（5，-6）．