Question

已知抛物线y=x²+（n-3）x+n+1经过坐标原点O．
（1）求这条抛物线的顶点P的坐标；
（2）设这条抛物线与x轴的另一个交点为A，求以直线PA为图象的一次函数解析式．

Answer

（1）根据抛物线y=x2+（n-3）x+n+1经过坐标原点O，可把O（0，0）代入此解析式求出n的值，进而求出函数的解析式及顶点坐标．
（2）由（1）中所求抛物线的解析式可求出其与x轴的交点，根据P，A两点的坐标用待定系数法即可求出一次函数的解析式．
【解析】
（1）∵抛物线y=x2+（n-3）x+n+1经过原点，
∴n+1=0．
∴n=-1，
得y=x2-4x，
即y=x2-4x=（x-2）2-4．
∴抛物线的顶点P的坐标为（2，-4）．

（2）∵抛物线y=x2+（n-3）x+n+1经过原点且顶点P的坐标为（2，-4），
∴其对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另一交点横坐标为x=4，
∴点A的坐标为（4，0）．
设所求的一次函数解析式为y=kx+b．
根据题意，得，
解得．
∴所求的一次函数解析式为y=2x-8．