Question

如图，AB为半圆O的直径，D、E是半圆上的两点，且BD平分∠ABE，过点D作BE延长线的垂线，垂足为C，直线CD交BA的延长线于点F．
（1）求证：直线CD是半圆O的切线；
（2）若FA=2，OA=3，求BC的长．

Answer

（1）连接OD，通过证明OD∥BC得出结论．
（2）证明△FOD∽△FBC，再根据相似三角形的性质求出BC的长．
【解析】
（1）（5分）证明：连接OD

∵OD=OB
∴∠ABD=∠BDO（1分）
又∵BD平分∠ABE
∴∠CBD=∠ABD
∴∠CBD=∠BDO（1分）
∴OD∥BC（1分）
∵CD⊥BC
∴DC⊥OD（1分）
∴直线CD是半圆O的切线（1分）

（2）（5分）【解析】
∵OD∥BC
∴△FOD∽△FBC（1分）
∴（2分）
∴（1分）
∴BC=（1分）