Question

上海迪斯尼门票初步定价为300元，据传综合成本为200元．市场调查显示，当按300元销售时，每周可卖出3000张，如果每降价1元，则每周可多卖出50张．在确保盈利的前提下，解答下列问题．
（1）若设每张门票降价x元，每周售出门票的利润为y元，请写出y与x的函数关系式．
（2）当降价多少元时，每周的利润最大？最大利润是多少？
（3）请画出上述函数的大致图象．

Answer

（1）根据题意可得y=（300-x-200）（3000+50x），然后化简即可求得y与x的函数关系式；
（2）利用配方法求得（1）中的函数的顶点式，根据二次函数的性质，即可求得答案；
（3）根据（1）与（2）求的顶点坐标，与x，y轴的交点坐标，即可画出图象．
【解析】
（1）根据题意得：y=（300-x-200）（3000+50x）=-50x2+2000x+300000，
∴y与x的函数关系式为：y=-50x2+2000x+300000；

（2）∵y=-50x2+2000x+300000=-50（x-20）2+320000，
∴降价20元时，每周的利润最大，最大利润是320000元．

（3）图象如图．