Question

如图M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=45°，且DM交AC于F，ME交BC于G，连接FG，若AB=，AF=3，则BG=    ，FG=    ．

Answer

根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=45度，结合图形上的公共角∠E，即可推出AMF∽△BGM，再根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．
【解析】
∵∠AFM=∠DME+∠E（外角定理），
∠DME=∠A=∠B（已知），
∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B，
∴△AMF∽△BGM，
∵∠DME=∠A=∠B=45°
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=2，
∵△AMF∽△BGM，
∴，
∴BG==，
AC=BC=4cos45°=4，
∴CG=4-=，CF=4-3=1，
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG===．
故答案为：，．