Question

在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作第2个正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作第3个正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为（ ）

A．5
B．
C．
D．

Answer

先根据两对对应角相等的三角形相似，证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的 ，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的，然后即可求出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2011个正方形的面积．
【解析】
如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
又∵在坐标平面内，∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
在△AOD和△A1BA中，，
∴△AOD∽△A1BA，
∴OD：AO=AB：A1B=2，
∴BC=2A1B，
∴A1C=BC，
以此类推A2C1=A1C，A3C2=A2C1，…，
即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍，
∴第2011个正方形的边长为（）2010BC，
∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），
∴BC=AD==，
∴第2011个正方形的面积为[（ ）2010BC]2=5（ ）4020．
故选D．