Question

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D₁，E₁，F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₁=CF₁=AB，连接D₁E₁，E₁F₁，F₁D₁，可得△D₁E₁F₁．
（1）用S表示△AD₁F₁的面积S₁=，△D₁E₁F₁的面积S₁′=；
（2）当D₂，E₂，F₂分别是等边△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=AB时，如图②，求△AD₂F₂的面积S₂和△D₂E₂F₂的面积S₂′；
（3）按照上述思路探索下去，当D_n，E_n，F_n分别是等边△ABC三边上的点，且AD_n=BE_n=CF_n=AB时（n为正整数），求△AD_nF_n的面积S_n，△D_nE_nF_n的面积S_n′．

Answer

（1）根据已知条件，可以知道图中四个小三角形都是全等的等边三角形，所以面积相等，每个都是全部的；
（2）与上问比较，发现分点的位置由原来的二等分点变成了现在的三等分点，同样易证中间的小三角形是等边三角形，而其余的三个全等，从而得出结果；
（3）与上问比较，只是分点的位置由原来的三等分点变成了（n+1）等分点，所以做法与（2）完全一样．
【解析】
（1）设等边△ABC的边长是a，
∵AD1=AF1，∠A=60°，
∴△AD1F1是等边三角形，
同理其余三个三角形都是等边三角形，
∴△AD1F1≌△BE1D1≌△CF1E1≌△D1E1F1，
∴S1=S，S1'=S．

（2）设△ABC的边长为a，则△AD2F2的面积，
又因为△ABC的面积，所以S2=S，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
又∵AD2=BE2=CF2，AF2=BD2=CE2，
由“SAS”得出△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2，
∴S2′=S-3S2=S-3×S=S．

（3）设△ABC的边长是a，
则Sn=•a•a•sin60°=S，
同理证明△ADnFn≌△BEnDn≌△CFnEn，
∴Sn′=S-3×S=S．