Question

如图1，抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由；
（3）如图2，将△AOC沿x轴对折得到△AOC₁，再将△AOC₁绕平面内某点旋转180°后得△A₁O₁C₂（A，O，C1分别与点A₁，O₁，C₂对应）使点A₁，C₂在抛物线上，求A₁，C₂的坐标．

Answer

（1）令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为C的纵坐标，确定出C的坐标，再由BC与x轴平行，得到B的纵坐标与C的纵坐标相等，把此时的纵坐标代入抛物线解析式求出x的值，得到B的横坐标，确定出B的坐标，又AC=BC，由BC的长得到AC的长，在直角三角形AOC中，由AC及OC的长，利用勾股定理求出OA的长，确定出A的坐标，把A的坐标代入抛物线解析式中，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出抛物线的解析式；
（2）分三种情况考虑：①以AB为腰且顶角为∠A时，有AB=AP1，过B作BN⊥x轴，设抛物线对称轴与x轴交于M，且由抛物线解析式求出对称轴，由OA+ON求出AN的长，在直角三角形ABN中，由AN，BN，利用勾股定理求出AB的长，即为AP1的长，在直角三角形AMP1中，由AP1及AM的长，利用勾股定理求出P1M的长，再根据P1为对称轴上的点及为第四象限的点，得出P1的坐标；②以AB为腰且顶角为∠B时，有AB=BP2，同理BP2的长，在Rt△BQP2中，根据勾股定理求出QP2的长，再由QM等于B的纵坐标，求出MP2的长，再根据P2为对称轴上的点及为第四象限的点，得出P2的坐标；③以AB为底，顶角为∠P时，P3为线段AB的垂直平分线与抛物线对称轴的交点，又AC=BC，故C也在线段AB的垂直平分线上，
即直线CP3为线段AB的垂直平分线，由A和B的坐标，利用中点坐标公式求出AB中点的坐标，设出线段AB垂直平分线的方程为y=kx+b，把C和线段AB的中点代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出线段AB垂直平分线的方程，将对称轴x的值代入求出y的值，即为P3的纵坐标，进而确定出P3的坐标；
（3）由抛物线的对称性得到抛物线的对称轴与x轴的交点M为对称中心，即M为AA1的中点，M为C1C2的中点，由C关于y轴的对称性得到C1的坐标，再由A和M的坐标，利用中点坐标公式即可求出C2及A1的坐标．
【解析】
（1）令抛物线y=ax2-5ax+4中x=0，求得y=4，
∴C（0，4），又BC∥x轴，
∴B的纵坐标为4，
把y=4代入y=ax2-5ax+4得：ax2-5ax=0，即ax（x-5）=0，
解得：x=0（舍去）或x=5，
∴B的坐标为（5，4），
∴BC=5，又AC=BC，
∴AC=5，又OC=4，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OA==3，
∴A（-3，0），
把x=-3，y=0代入y=ax2-5ax+4得：9a+15a+4=0，
解得：a=-，
则抛物线解析式为y=-x2+x+4；

（2）存在符合条件的点P，共有3个，
①以AB为腰且顶角为∠A时，有AB=AP1，
过B作BN⊥x轴，设抛物线对称轴与x轴交于M，
由抛物线y=-x2+x+4，得到对称轴为x=，
又∵A（-3，0），B（5，4），
∴OA=3，ON=5，BN=4，
∴AN=OA+ON=8，
在Rt△ABN中，利用勾股定理得：AB==4，
∴AP1=4，又AM=3+=，
在Rt△AMP1中，根据勾股定理得：MP1==，
则P1（，-）；
②以AB为腰且顶角为∠B时，有AB=BP2，同理BP2=4，
又BQ=BC=，QM=4，
在Rt△BQP2中，根据勾股定理得：QP2=QM+MP2=，
∴4+MP2=，即MP2=，
则P2（，）；
③以AB为底，顶角为∠P时，P3为线段AB的垂直平分线与抛物线对称轴的交点，
又∵AC=BC，故C也在线段AB的垂直平分线上，
即直线CP3为线段AB的垂直平分线，
由A和B的坐标，得到线段AB的中点W坐标为（，），即（1，2），
又∵C（0，4），
设直线WC的方程为：y=kx+b，
把W和C的坐标代入得：，
解得：k=-2，b=4，
∴线段AB垂直平分线的方程为y=-2x+4，
将x=代入得：y=-2×+4=-1，
则P3（，-1），
综上，满足题意的P有三个，分别为：P1（，-）；P2（，）；P3（，-1）；

（3）由抛物线的对称性得到：对称轴与x轴的交点M为对称中心，
根据对称性得到：C1M=C2M，AM=A1M，
∵A（-3，0），M（，0），
∴A1的坐标为（2×+3，0），即（8，0），
又∵C（0，4），
∴C1（0，-4），又M（，0），
∴C2的坐标为（2×-0，2×0+4），即（5，4）．