Question

以△ABC的AB、AC为边分别作正方形ADEB、ACGF，连接DC、BF：
（1）CD与BF相等吗？请说明理由．
（2）CD与BF互相垂直吗？请说明理由．
（3）利用旋转的观点，在此题中，△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的？

Answer

（1）要求两条线段的长度关系，把两条线段放到两个三角形中，利用三角形的全等求得两条线段相等．
（2）根据全等三角形的对应角相等以及直角三角形的两锐角互补，即可证得∠NMC=90°，可证得证BF⊥CD．
（3）因为AD=AB，AC=AF，∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，故△ABF可看作△ADC绕A点逆时针旋转90°得到．
【解析】
（1）DC=BF．
理由：在正方形ABDE中，AD=AB，∠DAB=90°，
又在正方形ACGF，AF=AC，∠FAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC=90°，
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，
∠FAB=∠FAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠FAB，
∴△DAC≌△FAB，
∴DC=FB．

（2）BF⊥CD．
∵△ABF≌△ADC，
∴∠AFN=∠ACD，
又∵在直角△ANF中，∠AFN+∠ANF=90°，∠ANF=∠CNM，
∴∠ACD+∠CNM=90°，
∴∠NMC=90°
∴BF⊥CD．

（3）根据正方形的性质可得：AD=AB，AC=AF，
∠DAB=∠CAF=90°，
∴∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，
∴△DAC≌△BAF（SAS），
故△ADC可看作△ABF绕A点逆时针旋转90°得到．