Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，点D是的中点．BC，AB边上的高AE，CF相交于点H．试证明：
（1）∠FAH=∠CAO；
（2）四边形AHDO是菱形．

Answer

（1）连接AD，由于点D是的中点，根据圆周角定理知∠BAD=∠CAD，由垂径定理知，OD⊥BC根据垂直于同一条直线的两条直线平行知AE∥OD，由两直线平行，内错角相等知∠DAE=∠ODA，由等边对等角知∠DAO=∠ODA，∴∠BAD-∠DAH=∠CAD-∠DAO，∴∠FAH=∠CAO；
（2）过点O作OM⊥AC于M，由垂径定理知，AC=2AM，由于CF⊥AB∠BAC=60°∴AC=AF÷cos60°=2AF
∴AF=AM在△AFH与△AMO中有∠FAH=∠CAO  AF=AM∠AFH=∠AMO，∴△AFH≌△AMO，∴AH=OA=OD，∴AH平行且等于OD，∴四边形AHDO为菱形．
证明：（1）连接AD，
∵点D是的中点，
∴∠BAD=∠CAD，OD⊥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE∥OD，
∴∠DAH=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠BAD-∠DAH=∠CAD-∠DAO，
∴∠FAH=∠CAO；

（2）过点O作OM⊥AC于M，
∴AC=2AM，
∵CF⊥AB，∠BAC=60°，
∴AC=2AF，
∴AF=AM，
在△AFH与△AMO中，
∵∠FAH=∠CAO，AF=AM，∠AFH=∠AMO，
∴△AFH≌△AMO，
∴AH=OA，
∵OA=OD，
∴AH平行且等于OD．
∴四边形AHDO是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵OA=OD，
∴平行四边形AHDO是菱形（临边相等的平行四边形是菱形）