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(1)如图1,在▱ABCD中,点E是AD的中点,连接CE并延长,交BA的延长线于...

(1)如图1,在▱ABCD中,点E是AD的中点,连接CE并延长,交BA的延长线于点F.求证:FA=AB.
(2)如图2,在⊙O中,∠ACB=∠BDC=60°,AC=2manfen5.com 满分网cm,①求∠BAC的度数; ②求⊙O的周长.

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(1)由ABCD为平行四边形,得到对边平行且相等,由FB与CD平行,利用两直线平行内错角相等得到两对内错角相等,又E为AD的中点,得到AE=DE,利用AAS可得三角形AEF与三角形ECD全等,根据全等三角形的对应边相等可得AF=DC,又AB=DC,等量代换可得FA=AB; (2)由同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC,由∠BDC的度数求出∠BAC的度数,可得∠ACB与∠BAC的度数相等,都为60°,可得三角形ABC为等边三角形,由O为三角形的外心,可得O为三边垂直平分线的交点,根据三线合一得到的O为三内角角平分线的交点,连接AO并延长交BC与M,连接OC,在直角三角形OMC中,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,可得OC=2OM,又OA=OC,可得AO=2OM,表示出OM,在直角三角形ACM中,利用勾股定理求出AM的长,由AM=AO+OM,把表示出OM代入,得到关于OA的方程,求出方程的解得到OA的长,即为圆的半径,即可求出圆的周长. 【解析】 (1)∵ABCD为平行四边形, ∴FB∥DC,AB=CD, ∴∠F=∠DCE,∠FAE=∠D, 又E为AD的中点,∴AE=DE, 在△AEF和△DEC中, , ∴△AEF≌△DEC(AAS), ∴FA=CD, ∴FA=AB; (2)∵圆周角∠BAC与∠BDC所对的弧都为, ∴∠BAC=∠BDC,又∠BDC=60°, ∴∠BAC=60°; 连接AO,并延长与BC交于M,连接OC, 则AM⊥BC, ∵∠ACB=∠BAC=60°,∴∠ABC=60°, ∴△ABC为等边三角形,又AC=2cm, ∴M为BC的中点,即CM=BM=BC=cm,CO为∠ACB的平分线,即∠MCO=∠AOC=30°, 在Rt△AMC中,根据勾股定理得:AM==cm, 在Rt△MOC中,OM=OC,又OA=OC, ∴OM=OA, ∴AM=OA+OM=OA+OA=OA=cm, 可得:OA=cm, 则圆O的周长为2πr=cm.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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