Question

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的三角形的面积．

Answer

（1）利用待定系数法，由正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），即可求得解析式；
（2）由点B在反比例函数图象上，即可求得m的值；又由此一次函数是正比例函数平移得到的，可知一次函数与反比例函数的比例系数相同，代入点B的坐标即可求得解析式；
（3）构造直角梯形AEFD，则通过求解△ABE、△BDF与直角梯形ADFE的面积即可求得△ABD的面积．
【解析】
（1）设正比例函数的解析式为y=ax，反比例函数的解析式为y=，
∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），
∴3=3a，3=，
∴a=1，b=9，
∴正比例函数的解析式为y=x，反比例函数的解析式为y=；

（2）∵点B在反比例函数上，
∴m==，
∴B点的坐标为（6，），
∵直线BD是直线OA平移后所得的直线，
∴可设直线BD的解析式为y=x+b，
∴=6+b，
∴b=-，
∴这个一次函数的解析式为y=x-；

（3）过点B作EF∥y轴，过点A作AE∥x轴交EF于E，过点D作DF∥x轴交EF于F，
∴点E的坐标为（6，3），点F的坐标为（6，-），
∵点D在直线BD上，
∴点D的坐标为（0，-），
∴AE=3，EF=3+=，DF=6，BE=3-=，BF=+=6，
∴S△ABD=S梯形AEFD-S△ABE-S△BDF
=（AE+DF）•EF-AE•BE-DF•EF
=×（3+6）×-×3×-×6×6=．