Question

某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写山y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

Answer

（1）根据题意，卖出了（60-x）（300+20x）元，原进价共40（300+20x）元，则y=（60-x）（300+20x）-40（300+20x）．
（2）根据x=-时，y有最大值即可求得最大利润．
【解析】
（1）y=（60-x）（300+20x）-40（300+20x），
即y=-20x2+100x+6000．
因为降价要确保盈利，所以40＜60-x≤60（或40＜60-x＜60也可）．
解得0≤x＜20（或0＜x＜20）；

（2）当时，
y有最大值，
即当降价2.5元时，利润最大且为6125元．