Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=CD，对角线BD⊥AD，DE⊥AB于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）若AD=4，AE=2，求EF的长．

Answer

（1）求出∠1=∠2，求出∠CFD=∠AED=90°，根据AAS证出△ADE≌△CDF即可；
（2）求出∠2=30°，根据勾股定理求出DE，求出∠3=60°，根据全等三角形性质求出DE=DF，得出△DEF是等边三角形即可．
（1）证明：∵DE⊥AB，AB∥CD，
∴DE⊥CD，
∴∠2+∠3=90°，
∵BD⊥AD，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵CF⊥BD，DE⊥AB，
∴∠CFD=∠AED=90°，
在△ADE和△CDF中
，
∴△ADE≌△CDF．

（2）【解析】
∵DE⊥AB，AE=2，AD=4，
∴∠2=30°，DE=，
∴∠3=90°-∠2=60°，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF是等边三角形，
∴EF=DF=．