Question

阅读材料：
（1）对于任意实数a和b，都有（a-b）²≥0，∴a²-2ab+b²≥0，于是得到a²+b²≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
（2）任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式．即：如果a≥0，则．如：2=，等．
例：已知a＞0，求证：．
证明：∵a＞0，∴
∴，当且仅当时，等号成立．
请解答下列问题：
某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成（如图所示）．设垂直于墙的一边长为x米．
（1）若所用的篱笆长为36米，那么：
①当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为多少米？
②设花圃的面积为S米²，求当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求出这个最大面积；
（2）若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？

Answer

（1）①用含x的代数式表示出矩形的另一边的长，再根据矩形的面积公式即可建立方程，方程的解即为垂直于墙的一边的长；
②利用二次函数的性质即可求出当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大值和此时的面积；
（2）设所需的篱笆长为L米，由题意得：，再根据给出的材料提示即可求出需要用的篱笆最少是多少米．
（1）【解析】
由题意得 x（36-2x）=144，
化简后得 x2-18x+72=0
解得：x1=6，x2=12，
答：垂直于墙的一边长为6米或12米；

（2）【解析】
由题意得
S=x（36-2x）=-2x2+36x，
=-2（x-9）2+162，
∵a=-2＜0，∴当x=9时，S取得最大值是162，
∴当垂直于墙的一边长为9米时，S取得最大值，最大面积是162m2；

（3）【解析】
设所需的篱笆长为L米，由题意得，
即：，
∴若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是40米．