Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A（，0），B（2，0），且与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）点P是x轴下方的抛物线上一动点，连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，求出使四边形POP′C为菱形的点P的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，B，Q四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可，再利用勾股定理逆定理得出△ABC的形状；
（2）根据菱形的性质得出PC=PO，进而求出=，得出x的值，即可得出P点的坐标；
（3）分别从若以BC为底边，则BC∥AQ，以及κ若以AC为底边，则BQ∥AC，分别分析即可得出答案．
【解析】
（1）根据题意，将A（，0），B（2，0）代入y=x2+bx+c中，
解得抛物线的解析式为，
当x=0时，y=-1．∴点C的坐标为（0，-1）．
∴在△AOC中，AC===．
在△BOC中，BC===．
AB=OA+OB=+2=，
∵AC2+BC2=+5==AB2，
∴△ABC是直角三角形；

（2）设P点坐标为（x，），PP′交CO于E，
∵四边形POP′C是菱形，
∴PC=PO．
连接PP′则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=，
∴y=．
∴=，
解得x1=，x2=，
∴P点的坐标为（，）或（，）；

（3）存在．由（1）知，AC⊥BC，设Q点坐标为（a，），
①若以BC为底边，则BC∥AQ，
∴∠ABC=∠QAB如图①
过点Q作QE⊥x轴于点E，则有△QAE∽△ABC，
∴
∴，
解得a1=，a2=-（舍去）．
当a=时，y=，
∴点Q（，），
②若以AC为底边，则BQ∥AC，
∴∠CAB=∠QBA如图②
过点Q作QF⊥x轴于点F，则有△QBF∽△BAC，
∴，
∴，
解得a1=，a2=2（舍去），
当a=时，y=9，
∴点Q（，9），
综上所述，满足题目条件的点Q为（，）或（-，9）．