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如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(,0),...

如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(manfen5.com 满分网,0),B(2,0),且与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)点P是x轴下方的抛物线上一动点,连接PO,PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,求出使四边形POP′C为菱形的点P的坐标;
(3)在此抛物线上是否存在点Q,使得以A,C,B,Q四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,说明理由.

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(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式即可,再利用勾股定理逆定理得出△ABC的形状; (2)根据菱形的性质得出PC=PO,进而求出=,得出x的值,即可得出P点的坐标; (3)分别从若以BC为底边,则BC∥AQ,以及κ若以AC为底边,则BQ∥AC,分别分析即可得出答案. 【解析】 (1)根据题意,将A(,0),B(2,0)代入y=x2+bx+c中, 解得抛物线的解析式为, 当x=0时,y=-1.∴点C的坐标为(0,-1). ∴在△AOC中,AC===. 在△BOC中,BC===. AB=OA+OB=+2=, ∵AC2+BC2=+5==AB2, ∴△ABC是直角三角形; (2)设P点坐标为(x,),PP′交CO于E, ∵四边形POP′C是菱形, ∴PC=PO. 连接PP′则PE⊥CO于E, ∴OE=EC=, ∴y=. ∴=, 解得x1=,x2=, ∴P点的坐标为(,)或(,); (3)存在.由(1)知,AC⊥BC,设Q点坐标为(a,), ①若以BC为底边,则BC∥AQ, ∴∠ABC=∠QAB如图① 过点Q作QE⊥x轴于点E,则有△QAE∽△ABC, ∴ ∴, 解得a1=,a2=-(舍去). 当a=时,y=, ∴点Q(,), ②若以AC为底边,则BQ∥AC, ∴∠CAB=∠QBA如图② 过点Q作QF⊥x轴于点F,则有△QBF∽△BAC, ∴, ∴, 解得a1=,a2=2(舍去), 当a=时,y=9, ∴点Q(,9), 综上所述,满足题目条件的点Q为(,)或(-,9).
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考点分析:
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(1)动手操作:
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(2)观察发现:
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(3)实践与运用:
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(1)求双曲线的解析式.
(2)过C点的直线y=-x+b与双曲线的另一个交点为E,求E点的坐标和△EOC的面积.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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