Question

如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，且AB∥CD，连接CO并延长交⊙O一点M，弦MG的垂直平分线交CD于N，连接MN．
（1）求证：MN是⊙O的切线．
（2）若BE=4.5，CG=8，求MN的长．

Answer

（1）连接OG，根据线段垂直平分线求出MN=NG，根据SSS证△OMN≌△OGN，推出∠OMN=∠OGN=90°即可．
（2）连接OE，OG，过B作BQ⊥CN于N，得出矩形BEGQ，求出CQ、BC长，求出EG、BQ，根据切割线定理求出CM，在△CMN根据勾股定理求出MN即可．
（1）证明：
连接OG，
∵CN切⊙O于G，
∴OG⊥CN，
∴∠OGN=90°，
∵ON是MG的垂直平分线，
∴MN=NG，
在△OMN和△OGN中
，
∴△OMN≌△OGN（SSS），
∴∠OMN=∠OGN=90°，
∴OM⊥MN，
∴MN是⊙O的切线．

（2）【解析】
连接OE，OG，过B作BQ⊥CN于N，
∵AB、CN是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，OG⊥CN，
∵AB∥CN，
∴E、O、G三点共线，
∵EG⊥CN，BQ⊥CN，
∴EG∥BQ，∠BQG=90°，
∵AB∥CN，
∴四边形EBQG是矩形，
∴EG=BQ，∠BQC=90°，BE=GQ=4.5，
∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，BE=4.5，CG=8，
∴BF=BE=4.5，CF=CG=8，
∴CQ=8-4.5=3.5，BC=8+4.5=12.5，
在△BQC中，由勾股定理得：EG=BQ=12，
∴OE=OG=OM=OZ=6，
∵CQ是⊙O的切线，CZM是⊙O的割线，
∴CG2=CZ×CM，
∴82=（CM-12）×CM，
∴CM=16，CM=-4（舍去），
在Rt△NMC中，∠NMC=90°，由勾股定理得：NM2+CM2=CN2，
∴MN2+162=（8+MN）2，
∴MN=24．