Question

如图，⊙O半径等于R，AB、CD都是⊙O的直径，的度数是120°，P点在上，PA交CD于M，PC交AB于N．
（1）写出图中所有的相似三角形．
（2）求证：OM+ON=R．

Answer

（1）△OAM∽△APN，△CON∽△CPM，理由为：连接AD，CB，由AB和CD为直径，得到半径OA=OD=OC=OB，又根据弧的度数等于所对圆心角的度数，得出∠AOC的度数，再根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠APC=∠ADO=∠CBO=60°，得到△ADO和△CBO都是等边三角形，根据等边三角形的性质得到一对角相等，再由公共角，利用两对对应角相等的三角形相似，可得△OAM∽△APN，△CON∽△CPM；
（2）由（1）得△ADO和△CBO都是等边三角形，得到一对角和一对边相等，再根据同弧所对的圆周角相等得到另一对角相等，利用ASA证得△ADM≌△CON，根据全等三角形的对应边相等可得DM=ON，等量代换可得证．
【解析】
（1）连接AD、CB，

∵AB，CD都是⊙O的直径，=120°，
∴∠AOC=120°，
∴∠APC=∠ADO=∠CBO=60°，OA=OD=OC=OB，
∴△ADO和△CBO都是等边三角形，
∴∠AOM=∠APC=60°，又∠PAB=∠PAB，
∴△OAM∽△APN，
∵∠CON=∠CPA，∠DCP=∠DCP，
∴△CON∽△CPM；

（2）∵△ADO和△CBO都是等边三角形，
∴∠ADM=∠CON=60°，AD=AO=OB=BC，
∵∠DAM与∠OCN都为所对的圆周角，
∴∠DAM=∠OCN，
在△ADM和△CON中，

∴△ADM≌△CON（ASA），
∴ON=DM，
∴OM+ON=OM+DM=OD=R．