Question

如图已知二次函数图象的顶点为原点，直线的图象与该二次函数的图象交于A点（8，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．
（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先设二次函数的解析式为y=ax2，把A点（8，8）代入y=ax2即可求出这个二次函数的解析式，根据直线与y轴的交点横坐标为0即可求出B点坐标为；
（2）设P点在上且横坐标为t，得出P点的坐标为（t，t+4），根据PD⊥x轴于E，用t表示出D和E的坐标，再根据PD=h，求出h=-x2+t+4，最后根据P与AB不重合且在AB上，得出t的取值范围；
（3）先过点B作BF⊥PD于F，得出PF=t+4-4=t，BF=t，再根据勾股定理得出PB和BC的值，再假设△PBO∽△BOC，得出=，即可求出t1和t2的值，从而求出P点的坐标；
【解析】
（1）设此二次函数的解析式为y=ax2，
∵A点（8，8）在二次函数y=ax2上，
∴8=a×82，
∴a=，
∴y=x2，
∵直线与y轴的交点为B，
∴B点坐标为：（0，4）．

（2）P点在上且横坐标为t，
∴P（t，t+4），
∵PD⊥x轴于E，
∴D（t，t2），E（t，0），
∵PD=h，
∴t+4-x2=h，
∴h=-x2+t+4，
∵P与AB不重合且在AB上，
∴0＜t＜8．
（3）存在，
（1）当BD⊥PE时，
△PBD∽△BCO，
∵=，
∴=，
∴h=t，
∴-x2+t+4=t，
x=4或x=-4（舍去）
∴P点的纵坐标是：×4+4=2+4，
∴此时P点的坐标是；（4，2+4）

（2）当DB⊥PC时，
△PBD∽△BCO，
过点B作BF⊥PD，
则F（t，4），
∴PF=t+4-4=t，
BF=t，
根据勾股定理得：
PB==t，
BC===4
假设△PBO∽△BOC，
则有=，
∴=，
解得：t1=-8+4，t2=-8-4（不合题意舍去），
∴t+4=×（-8+4）+4=2，
∴P（-8+4，2）．