Question

如图，在Rt△ABC中，AF是斜边上的高线，且BD=DC=FC=1，则AC的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

首先设出AD的长，过D作BC的垂线DE，易知△CDE∽△CAF，可利用x表示出CE的长，由等腰三角形三线合一的性质可得到BC=2CE，即可知BC的表达式，而在Rt△ADB中，利用勾股定理易求得AB的表达式，那么在Rt△ABC中，根据AB、AC、BC的表达式，可利用勾股定理列出关于x的方程，由此求得AD的长．
【解析】
如图，过D作BC边上的高DE．
设AD的长为x，Rt△ADB中，由勾股定理
AB=
等腰△DCB中，DE⊥BC，
∴E为BC的中点
又∵AF⊥BC，
∴△CDE∽△CAF
∴CD：CA=CE：CF
即=CE
∴BC=2CE=
直角△ABC中，由勾股定理可知
AB2+AC2=BC2
即1-x2+（1+x）2=
解得x=-1
∴AC=AD+CD=-1+1=．
故选A．