Question

在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，由D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．设DE=a，DF=b，且实数a，b满足9a²-24ab+16b²=0，并有2^a2b=256⁶，∠A使得方程x²-x•sinA+sinA-=0有两个相等的实数根．
（1）试求实数a，b的值；
（2）试求线段BC的长．

Answer

（1）由题意可知：2a2b=2566，则2a2b=248，则a2b=48．化简9a2-24ab+16b2=0得：（3a-4b）2=0，
则3a-4b=0，即3a=4b，则根据，可求得a与b的值；
（2）要求BC的长需求出BD和CD的长，知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边．
又知在△ABC中，AB=AC，则∠B=∠C，则根据三角函数只要知道∠B或∠C的读数即可，要求∠B或∠C的读数
需求的∠A的读数，根据判别式可以求得∠A的读数．
【解析】
（1）由条件有，解得；
（2）又由关于x的方程的判别式△=sin2A-sinA+=（sinA-）2=0，则sinA=，而∠A为三角形的一个内角，所以∠A1=60°或∠A2=120°    2分
当∠A=60°时，△ABC为正三角形，∠B=∠C=60°
于是分别在Rt△BDE和Rt△CDF中
有BD=，CD=
所以BC=BD+DC=．

当∠A=120°时，△ABC为等腰三角形，∠B=∠C=30°
同上方法可得BC=14．    3分

所以线段BC的长应为或14．