Question

如图，CD切⊙O于点D，连接OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB∥DC，点E为垂足，已知⊙O的半径为6，
（1）若OE=4，求弦AB的长；
（2）若DC=6，求劣弧AB的长．

Answer

（1）由CD为圆O的切线，根据切线的性质得到CD与OD垂直，又AB与DC平行，根据与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直可得OE与AB垂直，根据垂径定理可得E为AB的中点，即AB=2EB，在直角三角形OEB中，由OE及OB的长，利用勾股定理求出EB的长，可得出AB的长；
（2）由DC与OD垂直，可得三角形ODC为直角三角形，在直角三角形ODC中，由DC及OD的长，利用锐角三角函数定义表示出∠COD的正切值，利用特殊角的三角函数值求出∠COD的度数，然后利用弧长公式求出弧BD的长，又OE与AB垂直，根据垂径定理得到D为劣弧AB的中点，可得出弧AB的长等于弧BD长的2倍．
【解析】
（1）∵CD为圆O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC=90°，又AB∥DC，
∴∠OEB=∠ODC=90°，
在Rt△OEB中，OE=4，OB=6，
根据勾股定理得：EB==2，
又OE⊥AB，
∴E为弦AB的中点，
则AB=2BE=4；
（2）由∠ODC=90°，得到△OCD为直角三角形，
∵DC=6，OD=6，
∴tan∠COD===，
∴∠COD=60°，
又OE⊥AB，
∴D为的中点，即===2π，
则=2=4π．