Question

如图，点A（1，1），B（3，1），C（3，-1），D（1，-1）构成正方形ABCD，以AB为边做等边△ABE，则∠ADE和点E的坐标分别为（ ）
A．15°和（2，1+）
B．75°和（2，-1）
C．15°和（2，1+）或75°和（2，-1）
D．15°和（2，1+）或75°和（2，1-）

Answer

分为两种情况：①当△ABE在正方形ABCD外时，过E作EM⊥AB于M，根据等边三角形性质求出AM、AE，根据勾股定理求出EM，即可得出E的坐标，求出∠EAD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE；②当等边△ABE在正方形ABCD内时，同法求出此时E的坐标，求出∠DAE，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE．
【解析】

分为两种情况：①△ABE在正方形ABCD外时，如图，过E作EM⊥AB于M，
∵等边三角形ABE，
∴AE=AB=3-1=2，
∴AM=1，
由勾股定理得：AE2=AM2+EM2，
∴22=12+EM2，
∴EM=，
∵A（1，1），
∴E的坐标是（2，1+），
∵等边△ABE和正方形ABCD，
∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=（180°-90°-60°）=15°；
②同理当△ABE在正方形ABCD内时，同法求出E的坐标是（2，-+1），
∵∠DAE=90°-60°=30°，
AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=（180°-30°）=75°；
∴∠ADE和点E的坐标分别为15°，（2，1+）或75°，D（2，-+1），
故选D．