Question

如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知，==；然后由直角三角形中的正切函数，得tan∠AEC=，再由等量代换求得tan∠AEC=；
②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab（a=b时取等号）解答；
③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．
【解析】
∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE
∴==
①∴tan∠AEC=，
∴tan∠AEC=；故本选项正确；
②∵S△ABC=a2，S△CDE=b2，S梯形ABDE=（a+b）2，
∴S△ACE=S梯形ABDE-S△ABC-S△CDE=ab，
S△ABC+S△CDE=（a2+b2）≥ab（a=b时取等号），
∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；
④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．
∵点M是AE的中点，
则MN为梯形中位线，
∴N为中点，
∴△BMD为等腰三角形，
∴BM=DM；故本选项正确；
③又MN=（AB+ED）=（BC+CD），
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM；故本选项正确．
故选D．