Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=20cm，CD=25cm．动点P、Q同时从A点出发：点P以3cm/s的速度沿A⇒D⇒C的路线运动，点Q以4cm/s的速度沿A⇒B⇒C的路线运动，且P、Q两点同时到达点C．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）设P、Q两点运动的时间为t（秒），四边形APCQ的面积为S（cm²），试求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的t，使得四边形APCQ的面积恰为梯形ABCD的面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点D作DE⊥BC于点E，由已知得AD=BE，DE=AB=20cm．在Rt△DEC中，根据勾股定理得EC=15cm．由题意得
=，由此可以求出AD的长，然后可以求出梯形的面积；
（2）设P、Q两点运动的时间为t，则点P运动的路程为3t（cm），点Q运动的路程为4t（cm）．
①当0＜t≤时，P在AD上运动，Q在AB上运动，此时四边形APCQ的面积S=S梯形ABCD-S△BCQ-S△CDP=70t；
②当＜t≤5时，P在DC上运动，Q在AB上运动，此时四边形APCQ的面积S=S梯形ABCD-S△BCQ-S△ADP=34t+60；
③当5＜t＜10时，P在DC上运动，Q在BC上运动，此时四边形APCQ的面积S=S梯形ABCD-S△ABQ-S△ADP=-46t+460．
（3）根据（2）的函数关系式，分别把已知梯形面积的代入其中就可以求出相应的t，然后结合已知条件进行取舍
最后得到t的取值．
【解析】
（1）过点D作DE⊥BC于点E，由已知得AD=BE，DE=AB=20cm．
在Rt△DEC中，根据勾股定理得EC=15cm．由题意得=，
∴=．解得AD=5．
∴梯形ABCD的面积===250（cm2）．

（2）当P、Q两点运动的时间为t（秒）时，点P运动的路程为3t（cm），点Q运动的路程为4t（cm）．
①当0＜t≤时，P在AD上运动，Q在AB上运动．
此时四边形APCQ的面积S=S梯形ABCD-S△BCQ-S△CDP=70t．
②当＜t≤5时，P在DC上运动，Q在AB上运动．
此时四边形APCQ的面积S=S梯形ABCD-S△BCQ-S△ADP=34t+60．
③当5＜t＜10时，P在DC上运动，Q在BC上运动．
此时四边形APCQ的面积S=S梯形ABCD-S△ABQ-S△ADP=-46t+460．

（3）①当0＜t≤时，由S=70t=250×，解得t=．
②当＜t≤5时，由S=34t+60=250×，解得t=．
又∵＜t≤5，
∴t=不合题意，舍去．
③当5＜t＜10时，由S=-46t+460=250×，
解得t=．
∴当t=或t=时，四边形APCQ的面积恰为梯形ABCD的面积的．