Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a，
（1）判断四边形BCEF的面积是否存在最大或者最小值？若存在，求出来；若不存在，说明理由；
（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB的值；
（3）在（2）的条件下，若将“E是CD的中点”改为“CE=k•DE”，其中k为正整数，其他条件不变，请直接写出tan∠AFB的值（用k的代数式表示）．

Answer

（1）由于S四边形BCEF=S正方形ABCD-S△ABF-S△DEF，用含a的代数式表示S四边形BCEF=12-a，而0≤a＜4，即S四边形BCEF存在最大值12，S四边形BCEF不存在最小值；
（2）延长BC，FE交于点P，构造等腰三角形PEB，利用正方形的性质和中点的性质求得PB的长后，由勾股定理求得a的值．则可求出AB，AF的值．再用tan∠AFB=；求得tan∠AFB的值；
（3）用（2）的方法求得tan∠AFB的值．
【解析】
（1）如图，连接BE，
S四边形BCEF=S正方形ABCD-S△ABF-S△DEF=42-×4×a-×2×（4-a）=12-a，
∵F为AD边上一点，且不与点D重合，
∴0≤a＜4，
∴当点F与点A重合时，a=0，S四边形BCEF存在最大值12．
S四边形BCEF不存在最小值．

（2）如图，延长BC，FE交于点P，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．
∴△DEF∽△CEP．
∵E为CD的中点，
∴==1，PF=2EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF．
∵AF=a，
∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，
EF==．
∵Rt△DEF中，EF2=DE2+DF2，
∴=22+（4-a）2整理，得3a2-16a+16=0，
解得，a1=，a2=4；
∵F点不与D点重合，
∴a=4不成立，a=，tan∠AFB==3．

（3）延长BC，FE交于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEP．
∵CE=k•DE，
∴==，PF=（k+1）EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF，
∵AF=a，
∴PC=（4-a）k，PB=PF=4+（4-a）k．
EF==．
∵Rt△DEF中，EF2=DE2+DF2，
∴（）2=（）2+（4-a）2整理，
×=（4-a）2，
（k+1）2=，
解得a=，
∴tan∠AFB==2k+1（k为正数）．