Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A（0，1），与x轴的一个交点B的坐标为（2，0），点P在抛物线上，其横坐标为2n（0＜n＜1），作PC⊥x轴于C，PC交射线AB于点D
（1）求抛物线的解析式；
（2）用n的代数式表示CD、PD的长，并通过计算说明与的大小关系；
（3）若将原题中“0＜n＜1”的条件改为“n＞1”，其他条件不变，请通过计算说明（2）中结论是否仍然成立？

Answer

（1）根据题意把点A（0，1），（2，0）代入解析式求解即可得到y=-x2+1；
（2）先利用待定系数法解得直线AB的解析式为y=-+1，再根据点P的坐标为（2n，1-n2），求出CD=1-n，PD=yP-yD=n（1-n），从而得到=；
（3）利用同样的方法可求得CD=yD=1-n，PD=yP-yD=n（n-1），所以代入到与，得到=．
【解析】
（1）如上图
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（0，1），经过（2，0）点
∴y=ax2+1         （1分）
又4a+1=0
解得a=-
∴抛物线的解析式为y=-x2+1；（ 2分）

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b
∵A（0，1）B（2，0）
∴
解得
∴直线AB的解析式为y=-+1    3分
∵点P的坐标为（2n，1-n2），且点P在第一象限．
又∵PC⊥x轴于C，PC交射线AB于点D
∴xD=OC=2n，yD=-×2n+1=1-n，且点D在第一象限
∴CD=1-n      （4分）
PD=yP-yD=n（1-n）  （5分）
∵0＜n＜1
∴
∵
∴；（6分）

（3）当n＞1时，P、D两点在第四象限，且P点在D点的下方（如图），
yD＞yY点P的坐标为（2n，1-n2）
∵xD=OC=2n
∴yD=-×2n+1=1-n
∵D点在第四象限
∴CD=yD=1-n
PD=yP-yD=n（n-1）（7分）
∵n＞1
∴
∵
∴仍然成立．（8分）