Question

如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y=x²+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；
（2）点Q（8，m）在抛物线y=x²+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；
（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．

Answer

（1）根据题意可知点A，B的坐标分别为（2，0），（6，0），代入函数解析式即可求得抛物线的解析式，即可得点C的坐标；
（2）根据图象可得PQ+PB的最小值即是AQ的长，所以抛物线对称轴l是x=4．所以Q（8，m）抛物线上，∴m=2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6，求的AQ的值即可；
（3）此题首先要证得OE∥CM，利用待定系数法求得CM的解析式，即可求得OE的解析式．
【解析】
（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵抛物线y=x2+bx+c过点A和B，
则
解得
则抛物线的解析式为
y=x2-x+2．
故C（0，2）．（2分）
（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）（3分）

（2）如图①，抛物线对称轴l是x=4．
∵Q（8，m）在抛物线上，
∴m=2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=．（5分）
又∵B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，
∴PQ+PB的最小值=AQ=．

（3）如图②，连接EM和CM．
由已知，得EM=OC=2．
∵CE是⊙M的切线，
∴∠DEM=90°，
则∠DEM=∠DOC．
又∵∠ODC=∠EDM．
故△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．
则OE∥CM．（7分）
设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0），
∴
解得
直线CM的解析式为．
又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，
∴OE的解析式为y=x．（8分）