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提出问题:如图,有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕(AB=BC,且BC≠AC),在蛋...

提出问题:如图,有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕(AB=BC,且BC≠AC),在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力,小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分(要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样).
背景介绍:这条分割直线即平分了三角形的面积,又平分了三角形的周长,我们称这条线为三角形的“等分积周线”.尝试解决:
(1)小明很快就想到了一条分割直线,而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”,从而平分蛋糕.
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(2)小华觉得小明的方法很好,所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D.你觉得小华会成功吗如能成功,说出确定的方法;如不能成功,请说明理由.
(3)通过上面的实践,你一定有了更深刻的认识.请你解决下面的问题:若AB=BC=5 cm,AC=6 cm,请你找出△ABC的所有“等分积周线”,并简要的说明确定的方法.
(1)根据等腰三角形三线合一的性质,作线段AC的中垂线BD即可. (2)小华不会成功.直线CD可能平分△ABC的面积,若也平分周长,则AC=BC,与题中的AC≠BC冲突,故不会成功; (3)①若直线经过顶点,则AC边上的中垂线即为所求.②若直线不过顶点,可分以下三种情况考虑:(a)直线与BC、AC分别交于E、F,CF=5,CE=3;(b)直线与AB、AC分别交于M、N,AM=3,AN=5,(c)直线与AB、BC分别交于P、Q,此种情况不存在.则符合条件的直线共有三条. 【解析】 (1)作线段AC的中垂线BD即可.(2分) (2)小华不会成功. 若直线CD平分△ABC的面积 那么S△ADC=S△DBC ∴AD•CE=BD•CE ∴BD=AD(4) ∵AC≠BC ∴AD+AC≠BD+BC ∴小华不会成功.(5分) (3)①若直线经过顶点,则AC边上的中垂线即为所求.(6分) ②若直线不过顶点,可分以下三种情况: (a)直线与BC、AC分别交于E、F,如图所示 过点E作EH⊥AC于点H,过点B作BG⊥AC于点G 易求,BG=4,AG=CG=3 设CF=x,则CE=8-x 由△CEH∽△CBG,可得EH= 根据面积相等,可得(7分) ∴x=3(舍去,即为①)或x=5 ∴CF=5,CE=3,直线EF即为所求直线.(8分) (b)直线与AB、AC分别交于M、N,如图所示, 由(a)可得,AM=3,AN=5,直线MN即为所求直线. (仿照上面给分) (c)直线与AB、BC分别交于P、Q,如图所示 过点A作AY⊥BC于点Y,过点P作PX⊥BC于点X 由面积法可得,AY=, 设BP=x,则BQ=8-x, 由相似,可得PX=, 根据面积相等,可得(11分), ∴(舍去)或. 而当BP=时,BQ=,舍去. ∴此种情况不存在.(12分) 综上所述,符合条件的直线共有三条. (注:若直接按与两边相交的情况分类,也相应给分)
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考点分析:
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(3)若甲、乙两人交替进行游戏,现各旋转一次后甲得85分,乙得65分,你认为甲是否应选择旋转第二次说明你的理由.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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