Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A（-2，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如在线段OC上有一点P，且点P到点B的距离为，那么在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形？如存在，请求出点Q的坐标；如不存在，请说明理由．

Answer

（1）把A（-2，0），B（3，0）代入函数解析式，利用待定系数法可求得y=x2-x-6；
（2）根据题意易求得OC=6，设P（0，m），则，所以，解得m1=2，m2=-2，即P（0，-2），当PQ∥AC时，四边形QACP是梯形，利用梯形的性质可求得，即，当AP∥CQ时，四边形APCQ是梯形，根据梯形的性质可求得OQ=6，即Q（-6，0），所以可知点Q的坐标为（-，0），（-6，0）．
【解析】
（1）∵y=x2+bx+c经过点A（-2，0），B（3，0）
∴．（2分）
解得．
∴y=x2-x-6（2分）

（2）∵y=x2-x-6与y轴交于点c
∴c（0，6）
∴OC=6（3分）
设P（0，m）
∴
∴m1=2，m2=-2
∴P（0，-2）（5分）
当PQ∥AC时，四边形QACP是梯形
∴∴
∴
∴（7分）
当AP∥CQ时，四边形APCQ是梯形
∴∴
∴OQ=6
∴Q（-6，0）（9分）
∴存在点Q，点Q的坐标为．（10分）