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如图,已知二次函数y=的图象与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,其对称轴与x轴...

如图,已知二次函数y=manfen5.com 满分网的图象与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC.
(1)点A的坐标为______,点C的坐标为______
(2)线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得△PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有2个?

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(1)抛物线的解析式中,令x=0即得二次函数与y轴交点A的纵坐标,令y=0即得二次函数与x轴交点的横坐标. (2)根据A、C的坐标,易求得直线AC的解析式,由于等腰△EDC的腰和底不确定,因此要分成三种情况讨论: ①CD=DE,由于OD=3,OA=4,那么DA=DC=5,此时A点符合E点的要求,即此时A、E重合; ②CE=DE,根据等腰三角形三线合一的性质知:E点横坐标为点D的横坐标加上CD的一半,然后将其代入直线AC的解析式中,即可得到点E的坐标; ③CD=CE,此时CE=5,过E作EG⊥x轴于G,已求得CE、CA的长,即可通过相似三角形(△CEG∽△CAO)所得比例线段求得EG、CG的长,从而得到点E的坐标. (3)过P作x轴的垂线,交AC于Q,交x轴于H;设出点P的横坐标(设为m),根据抛物线和直线AC的解析式,即可表示出P、Q的纵坐标,从而可得到PQ的长,然后分两种情况进行讨论: ①P点在第一象限时,即0<m<8时,可根据PQ的长以及A、C的坐标,分别表示出△APQ、△CPQ的面积,它们的面积和即为△APC的面积,由此可得到S的表达式,通过配方即可得到S的取值范围; ②当P在第二象限时,即-2<m<0时,同①可求得△APQ、△CPQ的面积,此时它们的面积差为△APC的面积,同理可求得S的取值范围;根据两个S的取值范围,即可判断出所求的结论. 【解析】 (1)在二次函数中令x=0得y=4, ∴点A的坐标为(0,4), 令y=0得:, 即:x2-6x-16=0, ∴x=-2和x=8, ∴点B的坐标为(-2,0),点C的坐标为(8,0). (2)易得D(3,0),CD=5, 设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b,则: , 解得; ∴y=-x+4; ①当DE=DC时, ∵OA=4,OD=3, ∴DA=5, ∴E1(0,4); ②过E点作EG⊥x轴于G点, 当DE=EC时,由DG==, 把x=OD+DG=3+=代入到y=-x+4,求出y=, 可得E2(,); ③当DC=EC时,如图,过点E作EG⊥CD, 则△CEG∽△CAO, ∴,又OA=4,OC=8,则AC=4,DC=EC=5, ∴EG=,CG=2, ∴E3(8-2,); 综上所述,符合条件的E点共有三个:E1(0,4)、E2(,)、E3(8-2,). (3)如图,过P作PH⊥OC,垂足为H,交直线AC与点Q; 设P(m,-m2+m+4),则Q(m,-m+4). ①当0<m<8时, PQ=(-m2+m+4)-(-m+4)=-m2+2m, S=S△APQ+S△CPQ=×8×(-m2+2m)=-(m-4)2+16, ∴0<S≤16; ②当-2≤m<0时, PQ=(-m+4)-(-m2+m+4)=m2-2m, S=S△CPQ-S△APQ=×8×(m2-2m)=(m-4)2-16, ∴0<S<20; ∴当0<S<16时,0<m<8中有m两个值,-2<m<0中m有一个值,此时有三个; 当16<S<20时,-2<m<0中m只有一个值; 当S=16时,m=4或m=4-4这两个. 故当S=16时,相应的点P有且只有两个.
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考点分析:
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(1)如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线上一点.若∠AMN=90°,求证:AM=MN.
下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明.
证明:在边AB上截取AE=MC,连接ME.正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE.
(下面请你完成余下的证明过程)
(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2),N是∠ACP的平分线上一点,则∠AMN=60°时,结论AM=MN是否还成立?请说明理由.
(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X,请你作出猜想:当∠AMN=______时,结论AM=MN仍然成立.(直接写出答案,不需要证明)
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(1)求证:△BDF≌△CDE;
(2)若AB=AC,求证:四边形BFCE是菱形.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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