Question

如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．DF平分∠ADC交BC于F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．

Answer

（1）由平行四边形ABCD可得出的条件有：①AB=CD，②∠A=∠C，③∠ABC=∠CDA；已知BE、CD分别是等角∠ABD、∠CDA的平分线，易证得∠ABE=∠CDF④；联立①②④，即可由ASA判定所求的三角形全等；
（2）由（1）的全等三角形，易证得DE=BF，那么DE和BF平行且相等，由此可判定四边形BEDF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出EBFD的形状．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE=∠CDF（2分），
∴△ABE≌△CDF（ASA）；（4分）

（2）【解析】
若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形．
证明：由△ABE≌△CDF，得AE=CF（5分），
在平行四边形ABCD中，AD平行BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形EBFD是平行四边形（6分），
∴若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形．（8分）