Question

如图，直角梯形OABC的一顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．

（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，求y的值．

Answer

（1）过点B作BF⊥OA于F，由∠OAB=45°，AB=3，即可求得BF与AF的值，又由BD=OA=，即可求得CD的长，则可求得D点的坐标；
（2）首先连接OD，由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，可得∠DOE=∠COD=45°，又由∠1=∠2，可判定△ODE∽△AEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得到y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3种情况，分别从这三种情况去分析，利用相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及矩形的性质求解，即可求得答案．
【解析】
（1）如图（1），过点B作BM⊥OA于M，
∵∠OAB=45°，
∴AM=BM=AB•sin∠OAB=3×=，
∵BD=OA=，
∴OA=4，
∴CD=BC-BD=OM-BD=4--=，
∴D点的坐标是．（2分）

（2）连接OD，如图（2），由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，
则∠DOE=∠COD=45°，
又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴OD=AB=3，
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-∠DOE=∠DEA-45°，
又∵∠2=∠DEA-45°，
∴∠1=∠2，
∴△ODE∽△AEF，
∴，
即：
∴y与x的解析式为：y=-x2+x；（6分）

（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3种情况．
①当EF=AE时，如图（3），
∴∠EFA=∠DEF=45°，
∴DE∥AB，
又∵DB∥EA，
∴四边形DEAB是平行四边形，
∴AE=DB=，
∴AF=AE=2，
∴y=2；
②当AF=AE时，如图（4），连接OD，
由（2）知△ODE∽△AEF，
则，
即，
则3y=4x-x2，①，
又OE+AE=4，即x+y=4②，
联立①②解得：y=4-3；
③当EF=AF时，如图（5）．∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°，
∴△AEF为等腰直角三角形．
∴∠AEF=45°，
∵∠DEF=45°，
∴∠DEA=90°，
∴四边形COED是矩形，
∴OE=CD=，
∴AE=4-=，
∴AF=AE•sin45°=；
∴当△AEF为等腰三角形时，y的值为2或4-3或．（12分）