Question

如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片．点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=4，点E为BC的中点，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点．
（1）求点G的坐标；
（2）求折痕EF所在直线的解析式；
（3）设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P，F，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据正方形的性质，EB=2，根据MN∥y轴，N（3，0），MN⊥EB且MB=NA=1，可求EM=1，而EG=EC=2，所以sin∠EGM=，即∠EGM=30°，所以MG=EGcos30°=，即G（3，4-）；
（2）先求得F（0，4-2），E（2，4），设直线EF的解析式：y=kx+b（k≠0），利用待定系数法可求得，折痕EF所在直线解析式：y=x+4-2；
（3）分为以下几种情况：PF=FG，PF=PG，PG=FG，分别计算可得，P1（-，1-2），P2（1，4-），P3（，7-2），P4（3，4+）．
【解析】
（1）∵四边形ABCO是正方形，
∴BC=OA=4，
∵E为CB中点，
∴EB=2，
∵MN∥y轴，N（3，0），
∴MN⊥EB且MB=NA=1，
∴EM=1，
而EG=EC=2，
∴sin∠EGM=，
∴∠EGM=30°，
∴MG=EGcos30°=，
∴G（3，4-）；

（2）∵∠EGM=30°，
∴∠MEG=∠FEG=∠CEF=60°，
∴CF=CEtan60°=2，
∴FO=4-2，
∴F（0，4-2），E（2，4），
设直线EF的解析式：y=kx+b（k≠0），
∴，
∴，
∴折痕EF所在直线解析式：y=x+4-2；

（3）P1（-，1-2），P2（1，4-），P3（，7-2），P4（3，4+）．