Question

在平面直角坐标系中，已知，A（-4，0），B（1，0）且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由？
（4）若动点M在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点N，使得以A、B、N、M四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由于抛物线经过A（-4，0），B（1，0），C（0，2），所以利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）首先根据AB两点的坐标确定圆心的坐标，然后证明△O′CO∽△CDO，接着利用相似三角形的性质即可求解；
（3）存在．由抛物线对称轴为x=-得到⊙O′的半径为，设满足条件的圆的半径为R，点E在对称轴左侧，则E的坐标为（--R，--R），而E点在抛物线上，代入解析式中求出R即可解决问题；
（4）当ABNM为平行四边形时，则AB∥MN，并且AB=MN．由AB=5得到MN=5，而对称为x=-，由此得到点N的横坐标为或-，将x=和x=-代入中即可求出得y，然后得到N的坐标，从而说明在抛物线上存在点N，
使得以A、B、N、M四点为顶点的四边形为平行四边形．
【解析】
（1）令二次函数y=ax2+bx+c，则

∴，
∴过A，B，C线的解析式为；

（2）以AB径的圆圆心坐标为O′（-，0），
∴  
QCD为圆O′切线  
∴OC′⊥CD
∴∠O′CD+∠DCO=90°
∠CO′O+∠OCO=90°  
∴∠CO′O=∠DCO
∴△O′CO∽△CDO，
∴，
∴  
∴
∴D坐标为（，0）；

（3）存在．
抛物线对称轴为x=-，
设满足条件的圆的半径为R，点E在对称轴左侧，
则E的坐标为（--R，R）或（--R，-R）
而E点在抛物线上
∴R=-（--R）2-（--R）+2，
R1=，R2=-（不符合题意，应舍去）
或-R=-（--R）2-（--R）+2
∴R1=1+，R2=1-（不符合题意，应舍去）
∴R=1+，
故在以EF为直径的圆，恰好与AB为直径的圆相外切，该圆的半径为R=或1+；

（4）当ABNM为平行四边形时，则AB∥MN，并且AB=MN．
∵AB=5，
∴MN=5，由于对称为x=-，
∴点N的横坐标为或-．
将x=代入，
得y=-，
∴N（，-）．
将x=-代入，
得y=-，
∴N（-，-）．
所以，在抛物线上存在点N，
使得以A、B、N、M四点为顶点的四边形为平行四边形，
此时点N的坐标为（，-）或（-，-）．