Question

如图矩形OABC，AB=2OA=2n，分别以OA和OC为x、y轴建立平面直角坐标系，连接OB，沿OB折叠，使点A落在P处．过P作PQ⊥y轴于Q．
（1）求OD：OA的值；
（2）以B为顶点的抛物线：y=ax²+bx+c，经过点D，与直线OB相交于E，过E作EF⊥y轴于F，试判断2•PQ•EF与矩形OABC面积的关系，并说明理由．

Answer

（1）根据矩形的性质与折叠的性质，可得∠ABO=∠BOC，BD=DO；设DO=k，在Rt△BCD中，根据勾股定理，易得OD的值，进而可得OD：OA的值；
（2）将解析式化为顶点式，将D的坐标代入可得a的值，与直线OB的方程联立可得△BDC∽△PDQ，有相似三角形的性质，可得出证明．
证明：（1）在矩形OABC中AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC，
根据题中的折叠得∠PBO=∠ABO，
∴∠PBO=∠BOC，
∴BD=DO，
设DO=k，则DB=k
在Rt△BCD中BC=n，DC=2n-k，BD=k
∴（2n-k）2+n2=k2，
∴OD=n，OD：OA=．

（2）设以B为顶点的抛物线为y=a（x-n）2+2n，
把D（0，n）代入，
得a=，
∴y=（x-n）2+2n=x2+x+n，直线OB为y=2x，二者联立，
得E（-n，-n），
∴EF=n，根据PQ⊥y轴于Q，∠BCO=90°，
得△BDC∽△PDQ，通过BD=OD=n，
得PD=n，
∴===
∴PQ=n，
∴2•PQ•EF=2n2即矩形OABC面积．