Question

若二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点A（1，0）、B（-3，0），与y轴的负半轴交于点C，且S_△ABC=6．
（Ⅰ）求该二次函数的解析式和顶点P的坐标；
（Ⅱ）经过A、B、P三点画⊙O′，求⊙O′的面积；
（Ⅲ）设抛物线上有一动点M（a，b），连AM，BM，试判断△ABM能否是直角三角形？若能，求出M点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由A（1，0）、B（-3，0），与y轴的负半轴交于点C，且S△ABC=6，即可求得c的值，即点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式，然后利用配方法即可求得顶点P的坐标；
（Ⅱ）由经过A、B、P三点画⊙O′，即可知O′在以△ABP的三边的垂直平分线的交点处，则过点P作PC⊥AB于C，根据二次函数的对称性，可知点O′在此直线PC上，即可设O′为（-1，m），然后由O′P=O′B，即可求得m的值，继而得到⊙O′的半径长，利用圆的面积公式求得⊙O′的面积；
（3）由抛物线上有一动点M（a，b），△ABM是直角三角形，可知∠AMB是直角，然后设M（x，x2+2x-3），根据勾股定理，即可求得方程：（x+3）2+（x2+2x-3）2+（x-1）2+（x2+2x-3）2=16，解此方程即可求得M点的坐标．
【解析】
（Ⅰ）∵y轴的负半轴交于点C（0，c），
∴c＜0，
∵A（1，0）、B（-3，0），
∴AB=4，
∴S△ABC=×AB×|c|=6，
∴c=-3，
∴点C的坐标为（0，-3），
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为：y=x2+2x-3，
∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴顶点P的坐标为（-1，-4）；

（Ⅱ）如图：根据题意得：PA=PB，
过点P作PC⊥AB于C，
∴AC=BC，
∴O′在PC上，
设O′的坐标为（-1，m），
∵O′P=O′B=，
∴m-（-4）=，
解得：m=-，
∴O′P=-+4=，
∴⊙O′的面积为：π；

（Ⅲ）存在．
设抛物线上有一动点M（x，x2+2x-3），
若△ABM是直角三角形，
则∠AMB=90°，
∴AM2+BM2=AB2，
∴（x+3）2+（x2+2x-3）2+（x-1）2+（x2+2x-3）2=16，
∴2（x2+2x-3）2+（2x2+4x+10）=16，
∴2（x2+2x-3）2+2（x2+2x-3）+16=16，
∴（x2+2x-3）（x2+2x-3+1）=0，
解得：x1=-3（舍去），x2=1（舍去），x3=-1，x4=--1，
当x3=-1时，y=-1，
当x4=--1时，y=-1，
∴M点的坐标为：（-1，-1）或（--1，-1）．