Question

已知二次函数y=x²+bx-c的图象经过两点P（1，a），Q（2，10a）．
（1）如果a，b，c都是整数，且c＜b＜8a，求a，b，c的值．
（2）设二次函数y=x²+bx-c的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C．如果关于x的方程x²+bx-c=0的两个根都是整数，求△ABC的面积．

Answer

（1）代入两点坐标，求得b、c（用a表示），再由已知c＜b＜8a，联立不等式组求得a、b、c的值；
（2）设出程x2+bx-c=0的两个根，根据根与系数的关系与因式分解求得两根，得出函数解析式，进一步求得图象与x、y轴的交点A、B、C三点解答问题．
【解析】
点P（1，a）、Q（2，10a）在二次函数y=x2+bx-c的图象上，
故1+b-c=a，4+2b-c=10a，
解得b=9a-3，c=8a-2；
（1）由c＜b＜8a知，
解得1＜a＜3，
又a为整数，所以a=2，b=9a-3=15，c=8a-2=14；

（2）设m，n是方程的两个整数根，且m≤n．
由根与系数的关系可得m+n=-b=3-9a，mn=-c=2-8a，
消去a，得9mn-8（m+n）=-6，
两边同时乘以9，得81mn-72（m+n）=-54，分解因式，得（9m-8）（9n-8）=10．
所以或或或，
解得或或或；
又∵m，n是整数，所以后面三组解舍去，
故m=1，n=2．
因此，b=-（m+n）=-3，c=-mn=-2，
二次函数的解析式为y=x2-3x+2．
易求得点A、B的坐标为（1，0）和（2，0），点C的坐标为（0，2），
所以△ABC的面积为．