Question

如图，点A在双曲线上，且OA=4，过点A作x轴的垂线，与x轴交于点C，OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC的周长为    ．

Answer

可以设A的坐标是（m，n）．根据B在AB的垂直平分线上，据垂直平分线的性质得到：AB=OB，则求△ABC的周长即为求m+n的问题．点A在双曲线上得到：mn=6，根据OA=4，根据勾股定理即可得到m2+n2=16．根据完全平方公式即可求解．
【解析】
设A的坐标是（m，n）．则mn=6．
则AC=n，OC=m．
在直角△ACO中，根据勾股定理可得：m2+n2=16；
∵B在AB的垂直平分线上．
∴AB=OB
∴△ABC的周长=AC+BC+AB=OB+BC+AC=OC+AC=m+n
又∵（m+n）2=m2+n2+2mn=16+2×6=28
∴△ABC的周长=m+n==2．
故答案为：2．