Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM中点．
（1）求证：四边形MENF是菱形；
（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．

Answer

（1）根据等腰梯形的中位线的性质求出四边形四边相等即可；
（2）利用等腰梯形的性质和正方形的性质解答．
（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D．
∵M为AD的中点，
∴AM=DM．（2分）
∴△ABM≌△DCM．（1分）
∴BM=CM．（1分）
∵E、F、N分别是MB、CM、BC的中点，
∴EN、FN分别为△BMC的中位线，
∴EN=MC，FN=MB，
且ME=BE=MB，MF=FC=MC．
∴EN=FN=FM=EM．
∴四边形ENFM是菱形．（1分）

（2）【解析】
结论：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．
理由：连接MN，
∵BM=CM，BN=CN，
∴MN⊥BC．
∴MN是梯形ABCD的高．（2分）
又∵四边形MENF是正方形，
∴∠EMF=90°，
∴△BMC为直角三角形．
又∵N是BC的中点，
∴MN=BC．（1分）
即等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．