Question

矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线与BC边相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若上抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A，D两点，试确定此抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标．

Answer

（1）有题目所给信息可以知道，BC线上所有的点的纵坐标都是3，又有D在直线上，代入后求解可以得出答案．
（2）A、D，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案．
（3）由题目分析可以知道∠B=90°，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，所以应有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明显∠AMP不可能等于90°，所以有两种情况．
【解析】
（1）∵四边形OABC为矩形，C（0，3）
∴BC∥OA，点D的纵坐标为3．
∵直线与BC边相交于点D，∴．
∴x=2，故点D的坐标为（2，3）

（2）∵若抛物线y=ax2+bx经过A（6，0）、D（2，3）两点，
∴
解得：∴抛物线的解析式为．

（3）∵抛物线的对称轴为x=3，
设对称轴x=3与x轴交于点P1，∴BA∥MP1，∴∠BAD=∠AMP1．
①∵∠AP1M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△MP1A．
∴P1（3，0）．
②当∠MAP2=∠ABD=90°时，△ABD∽△MAP2．
∴∠AP2M=∠ADB
∵AP1=AB，∠AP1P2=∠ABD=90°，
∴△AP1P2≌△ABD
∴P1P2=BD=4．
∵点P2在第四象限，∴P2（3，-4）．
答：符合条件的点P有两个，P1（3，0）、P2（3，-4）．