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如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,...

如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.
(1)点P在运动时,线段AB的长度也在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由;
(2)在⊙O上是否存在一点Q,使得以Q,O,A,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)如图,设AB的中点为C,连接OP,由于AB是圆的切线,故△OPC是直角三角形,所以当OC与OP重合时,OC最短; (2)分两种情况:如图(1),当四边形APOQ是正方形时,△OPA,△OAQ都是等腰直角三角形,可求得点Q的坐标为(,-),如图(2),可求得∠QOP=∠OPA=90°,由于OP=OQ,故△OPQ是等腰直角三角形,可求得点Q的坐标为(-,). 【解析】 (1)线段AB长度的最小值为4, 理由如下: 连接OP, ∵AB切⊙O于P, ∴OP⊥AB, 取AB的中点C, 则AB=2OC; 当OC=OP时,OC最短, 即AB最短, 此时AB=4; (2)设存在符合条件的点Q, 如图①,设四边形APOQ为平行四边形; ∵∠APO=90°, ∴四边形APOQ为矩形, 又∵OP=OQ, ∴四边形APOQ为正方形, ∴OQ=QA,∠QOA=45°; 在Rt△OQA中,根据OQ=2,∠AOQ=45°, 得Q点坐标为(,-); 如图②,设四边形APQO为平行四边形; ∵OQ∥PA,∠APO=90°, ∴∠POQ=90°, 又∵OP=OQ, ∴∠PQO=45°, ∵PQ∥OA, ∴PQ⊥y轴; 设PQ⊥y轴于点H, 在Rt△OHQ中,根据OQ=2,∠HQO=45°, 得Q点坐标为(-,). ∴符合条件的点Q的坐标为(,-)或(-,).
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考点分析:
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(1)求点B的坐标;
(2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;
(3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且manfen5.com 满分网,求这时点P的坐标.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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