Question

将边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形GHEF如图所示摆放在一起（a≥2b），连接BD，DF，FB，将正方形GHEF绕点A逆时针旋转．在旋转过程中△BDF的面积的取值范围是    ．

Answer

过F作BD的垂线，设垂足为H，由于BD是定值，△BDF的面积最大，则FH最大，△BDF的面积最小，则FH最小；可据此画出图形，求出两种情况下△FDH的面积，从而得到其取值范围．

【解析】
∵正方形ABCD的边长为a，正方形GHEF的边长为b，
∴BD=a，AF=b，
作FH⊥BD于H点，连接AF．则S△BDF=×BD×FH（如图2），
因为小正方形AEFG绕A点旋转任意角度，所以点F离线段BD的距离是变化的，即FH的长度是变化的．
由于BD得长度是定值，所以当FH取得最大值时S△BDF最大，当FH取得最小值时S△BDF最小．
所以当点F离BD最远时，FH取得最大值，此时点F、A、H在同一条直线上（如图3所示）；
当点F离BD最近时，FH取得最小值，此时点F、A、H也在同一条直线上（如图4所示）．
在图3中，S△BDF=BD×FH=×a（b+a）=ab+a2，
在图4中，S△BDF=BD×FH=×a（a-b）=a2-ab，
∴S△BDF的取值范围是：a2-ab≤S△BDF≤a2+ab．
故答案为a2-ab≤S△BDF≤a2+ab．