Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer

（1）把A和B的坐标代入抛物线解析式，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解集得到a与b的值，进而确定出抛物线的解析式；
（2）在抛物线在第二象限图象上任取一点E，过E作EF垂直于x轴，垂足为F，连接BE，EC，BC，△BEC的面积=△BEF的面积+梯形COFE的面积-△BOC的面积，由抛物线与y轴的交点为C，求出C的坐标得到OC的长，由B的坐标得到OB的长，又△BOC为直角三角形，两直角边OB与OC乘积的一半即为△BOC的面积，此面积为定值，故要求△BEC面积的最大值，即要求三角形BEF的面积+梯形COFE的面积的最大值，设出E的坐标（m，-m2-2m+3），EF为E的纵坐标，OF为E横坐标的绝对值，BF=OB-OF，而△BEF为直角三角形，利用两直角边EF与BF乘积的一半表示出此三角形的面积，再根据上下底之和的一半乘以高表示出梯形OCFE的面积，进而表示出△BEF的面积+梯形COFE的面积之和，配方后根据二次项系数小于0，得到抛物线开口向下，二次函数有最大值，利用二次函数的性质求出此时面积之和的最大值，用求出面积之和的最大值减去△BOC的面积，即可得到△BEC面积的最大值，由此时求出的m，可确定出此时E的坐标．
【解析】
（1）把点A（1，0）和点B（-3，0）代入抛物线解析式得：
，
①×3+②得：12a+12=0，解得：a=-1，
把a=-1代入①得：-1+b+3=0，解得：b=-2，
∴方程组的解集为，
则所求抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）过点E作EF⊥x轴于点F，连接BE，FC，BC，

设E（m，-m2-2m+3）（-3＜m＜0），
∴EF=-m2-2m+3，BF=m+3，OF=-m，
∴S四边形BOCE=BF•EF+（OC+EF）•OF
=（m+3）•（-m2-2m+3）+（-m2-2m+6）•（-m）
==+，
∴当m=-时，S四边形BOCE最大，且最大值为，
而S△BOC值一定，具体求法如下：
∵B（-3，0），C（0，3），
∴OB=3，OC=3，
∴S△BOC=OB•OC=，
则△BCE面积的最大值S=S四边形BOCE-S△BOC=-=，
又∵当m=-时，-m2-2m+3=-（-）2-2×（-）+3=，
则此时点E坐标为（-，）．