Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A、B重合），过点M作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN，令AM=x．
（1）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（2）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y与x间函数关系式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

Answer

（1）当圆O与BC相切时，O到BC的距离就是MN的一半，那么关键是求出MN的表达式，可根据△AMN∽△ABC，得出MN的表达式，也就求出了O到BC的距离的表达式，如果过M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距离，然后在Rt△BMQ中，用∠B的正弦函数以及BM的表达式表示出MQ，然后让这两表示MQ的含x的表达式相等，即可求出x的值；
（2）要求重合部分的面积首先看P点在△ABC内部还是外面，因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时，x的取值，那么P落点BC上时，MN就是△ABC的中位线，此时AM=2，因此可分两种情况进行讨论：
①当0＜x≤2时，此时重合部分的面积就是△PMN的面积，△PMN的面积（1）中已经求出，即可的x，y的函数关系式．②当2＜x＜4时，如果设PM，PN交BC于E，F，那么重合部分就是四边形MEFN，可通过△PMN的面积-△PEF的面积来求重合部分的面积．不难得出PN=AM=x，而四边形BMNF又是个平行四边形，可得出FN=BM，也就有了FN的表达式，就可以求出PF的表达式，求出△PEF的面积，即可求出四边形MEFN的面积，也就得出了y，x的函数关系式．然后根据两种情况得出的函数的性质，以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可．
【解析】
（1）如图1，设直线BC与⊙O相切于点D，连接OA、OD，则OA=OD=MN
在Rt△ABC中，BC==5
∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C
△AMN∽△ABC，∴，即，
∴MN=x，∴OD=x
过点M作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，
在Rt△BMQ和Rt△BCA中，∠B是公共角
∴Rt△BMQ∽Rt△BCA，
∴，
∴BM=x，AB=BM+MA=x+x=4
∴x=，
∴当x=时，⊙O与直线BC相切；

（2）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，
∴△AMO∽△ABP，
∴，
∵AM=MB=2，
故以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴，即；
∴AN=x；
∴S=S△MNP=S△AMN=•x•x=x2．
∴当x=2时，y最大=×4=，
②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，
∵四边形AMPN是矩形，
∴PN∥AM，PN=AM=x，
又∵MN∥BC，
∴四边形MBFN是平行四边形；
∴FN=BM=4-x，
∴PF=x-（4-x）=2x-4，
又∵△PEF∽△ACB，
∴，
∴S△PEF=（x-2）2；
y=S△MNP-S△PEF=x2-（x-2）2=-x2+6x-6，
当2＜x＜4时，y=-x2+6x-6=-（x-）2+2，
∴当x=时，满足2＜x＜4，y最大=2．
综上所述，当0＜x≤2时，当x=2时，y最大=；当2＜x＜4时，当x=时，y值最大，最大值是2．